?2023年河北專升本數(shù)學分析考試大綱

I.課程簡介

一、內容概述與要求

數(shù)學分析是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎課程，掌握數(shù)學分析的基本理論體系及思想方法 對進一步學習和研究具有重要意義?？忌鷳斫狻稊?shù)學分析》 中實數(shù)的完備性定理；掌握函數(shù)、極限、連 續(xù)、一元函數(shù)微積分學、多元函數(shù)微積分學、數(shù)項級數(shù)及函數(shù)項級數(shù)等相關章節(jié)的基本概念與基本理論， 掌握上述各部分的基本方法；注意各部分知識結構及知識的內在聯(lián)系?？忌鷳哂幸欢ǖ某橄笏季S能力、 邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確推理地證明，準確 簡捷地計算；能運用所學知識分析并解決簡單的實際問題?？荚噺娜齻€層次上對考生進行測試，較高層次 的要求為“理解”和“掌握”，較低層級的要求為“了解” 。這里“理解”和“了解”兩詞分別是對概念、 理論的高層次與低層次要求?！罢莆铡笔菍Ψ椒?、運算的高層次要求。本說明下列用語的含義： 了解是指 清楚地知道，理解是指懂得涵義、特征以及與相關理論的關系，運用是指用以解決基本問題，掌握是指理 解并能運用。

二、考試形式與試卷結構

考試形式：采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為 300 分，考試時間為 150 分鐘。

試卷結構：試卷包括選擇題、填空題、判斷題、計算題、證明題和應用題。選擇題是四選一型的單項 選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；計算題、證明題均應寫出文字說明、 演算步驟或推證過程。

試卷中《數(shù)學分析》、《高等代數(shù)》與《解析幾何》試題的分值比例約為 150:110:40

II.知識要點與考核要求

一、實數(shù)集與函數(shù)

( 一) 知識要點

1.鄰域、去心鄰域、左鄰域、右鄰域的概念.

2.有界數(shù)集的定義，數(shù)集的上確界、下確界的定義，確界原理.

3.函數(shù)、反函數(shù)及復合函數(shù)的概念，函數(shù)的單調性、有界性、周期性、奇偶性，基本初等函數(shù)、初等 函數(shù)的概念.

(二) 考核要求

了解內容

1.實數(shù)的無限小數(shù)表示法.

理解內容

1.區(qū)間與鄰域的概念，有界集及確界概念.

2.函數(shù)及復合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)的概念.

掌握內容

1.數(shù)集上確界、下確界的定義，確界原理.

2.求函數(shù)的定義域.

3.函數(shù)的簡單性質 (有界性、單調性、奇偶性、周期性) ，基本初等函數(shù)的性質. 

4.將一個復合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的復合的方法.

二、數(shù)列極限

( 一) 知識要點

1.數(shù)列極限的定義.

2.收斂數(shù)列性質，極限的四則運算法則，數(shù)列的斂散性與其子列斂散性的關系.

3.迫斂性定理，單調有界原理，數(shù)列的柯西收斂準則.

(二) 考核要求

了解內容

1.極限的歷史.

理解內容

1.極限的概念.

2.極限的思想.

3.柯西準則

掌握內容

1.用數(shù)列極限的

2.用數(shù)列極限的定義及收斂數(shù)列的性質進行相關結論的證明.

3.用四則運算法則、迫斂性定理、單調有界定理證明數(shù)列收斂并求極限.

4.用數(shù)列極限與其子數(shù)列極限之間的關系證明數(shù)列發(fā)散.

三、函數(shù)極限

( 一) 知識要點

1. 自變量各種趨勢下函數(shù)極限的精確定義.

2.左極限、右極限與極限的關系.

3.函數(shù)極限的性質，函數(shù)極限的四則運算法則.

4.歸結原則，柯西準則.

5.兩個重要極限.

6.無窮小量的定義及性質，無窮小量階的比較，用等價無窮小代換求極限.

7.無窮大量的定義，無窮大量與無窮小量的關系.

8.曲線的水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線.

(二) 考核要求

了解內容

1.極限的幾何意義.

理解內容

1.無窮大、無窮小以及無窮小的階的概念，無窮小的性質，無窮小量階的比較，無窮小量與無窮大量 的關系.

2.曲線漸近線的幾何意義，漸近線的求法.

3.歸結原理，柯西準則.

掌握內容

1.函數(shù)極限的精確定義，左極限、右極限與極限的關系.

2.用函數(shù)極限的性質證明與函數(shù)極限相關的結論.

3.用極限四則運算法則求極限.

4.用兩個重要極限求極限.

5.用等價無窮小求極限.

四、函數(shù)的連續(xù)性

( 一) 知識要點

1.函數(shù)在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)、右連續(xù)與連續(xù)的關系.

2.函數(shù)的間斷點及其分類.

3.連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性.

4.函數(shù)在某點連續(xù)的局部性質，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 (有界性定理、最值定理、介值定理及零點 存在定理) .

5.函數(shù) f(x) 在區(qū)間I上一致連續(xù)的定義，一致連續(xù)性定理.

(二) 考核要求

了解內容

1.黎曼函數(shù)的定義及其性質.

理解內容

1.函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念.

2.反函數(shù)的連續(xù)性.

3.函數(shù)在一點連續(xù)的局部性質.

4.一致連續(xù)的定義，一致連續(xù)性定理.

掌握內容

1.判斷簡單函數(shù) (含分段函數(shù)) 在一點的連續(xù)性質.

2.求函數(shù)的間斷點，確定間斷點的類型.

3.初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)性.

4.運用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性定理、最大最小值定理、介值定理、零點定理)推證一些簡單 命題.

五、導數(shù)與微分

( 一) 知識要點

1.導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義與物理意義.

2.函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系.

3.導數(shù)的基本公式，求導的四則運算法則，復合函數(shù)的求導法則.

4.高階導數(shù)的概念及求法.

5.參變量函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)的求法.

6.微分的定義，微分的幾何意義，微分與導數(shù)的關系，微分法則，一階微分形式不變性.

(二) 考核要求

了解內容

1.微分的幾何意義.

2.用微分做近似計算和誤差估計.

理解內容

1.函數(shù)的微分概念.

2.一階微分形式不變性.

3.反函數(shù)的求導法則.

掌握內容

1.導數(shù)、左導數(shù)、右導數(shù)的概念，判斷函數(shù)在某點的可導性，用導數(shù)定義求導數(shù). 

2.函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系.

3.導數(shù)的幾何意義和物理意義，求曲線上一點處的切線方程與法線方程.      

4.用導數(shù)基本公式、導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則求函數(shù)的導數(shù). 

5.微分與導數(shù)的關系，微分運算法則, 求初等函數(shù)的微分.                   

6.高階導數(shù)的概念，求初等函數(shù)的高階導數(shù).                               

7.求參變量函數(shù)的一階、二階導數(shù).

六、微分中值定理及其應用

( 一) 知識要點

1.羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式.

2.判定函數(shù)單調性，求函數(shù)的極值，求函數(shù)的最值.

3.判定曲線凹凸性，求曲線的拐點.

4.洛必達法則，求不定式的極限.

5.函數(shù)圖像的討論.

(二) 考核要求

了解內容

1.導數(shù)極限定理.

2.導函數(shù)的介值定理.

理解內容

1.函數(shù)極值的概念.

2.羅爾定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義，柯西中值定理.

3.泰勒中值定理，泰勒公式.

4.描繪簡單函數(shù)的圖形.

掌握內容

1.用羅爾定理、拉格朗日中值定理證明簡單的不等式和證明方程根的存在性.                 

2.用導數(shù)判定函數(shù)的單調性及求函數(shù)的單調增、減區(qū)間，利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式. 

3.用二階導數(shù)判定曲線的凹凸性，求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.

4.求函數(shù)的極值與最值.

5.求各種不定式極限.

6.解決簡單的最大 (小) 值的應用問題.

七、實數(shù)的完備性

( 一) 知識要點

1.閉區(qū)間套定理.

2.聚點的定義及聚點定理.

3.有限覆蓋定理.

(二) 考核要求

了解內容

1.實數(shù)完備性基本定理的等價性.

理解內容

1.集合的開覆蓋、有限開覆蓋的概念，有限覆蓋定理.

掌握內容

1.區(qū)間套定理.

2.找出集合的聚點，聚點定理.

八、不定積分

( 一) 知識要點

1.原函數(shù)與不定積分的概念，原函數(shù)存在定理.

2.不定積分的基本積分公式.

3.不定積分的線性運算法則.

4.不定積分的第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法.

5.有理函數(shù)的積分法，簡單無理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分法.

(二) 考核要求

了解內容

1.不定積分的幾何意義.

理解內容

1.原函數(shù)與不定積分的概念.

2.求有理函數(shù)的不定積分，求三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的不定積分.

掌握內容

1.不定積分的基本公式.

2.不定積分的線性運算法則.

3.用第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法求不定積分.

九、定積分

( 一) 知識要點

1.定積分的概念及其幾何意義.

2.定積分的性質.

3.積分第一中值定理.

4.變上限定積分，原函數(shù)存在定理.

5.可積函數(shù)類.

6.牛頓—萊布尼茲公式，定積分的換元法、分部積分法.

(二) 考核要求

了解內容

1.第一積分中值定理的推廣形式，第二積分中值定理.

理解內容

1.定積分的概念與幾何意義.

2.可積的必要條件.

3.三類可積函數(shù).

掌握內容

1.定積分的性質.

2.變上限積分，原函數(shù)存在定理，變上限函數(shù)的導數(shù).

3.用牛頓—萊布尼茲公式，定積分的換元法和分部積分法計算定積分.

4.證明一些簡單的積分恒等式.

十、定積分的應用

( 一) 知識要點

1.平面圖形的面積.

2.曲線的弧長.

3.平行截面面積為已知的立體體積、旋轉體的體積.

4.旋轉曲面的面積.

5.用定積分求物理量.

(二) 考核要求

了解內容

1.曲率、曲率圓、曲率半徑、 曲率中心等概念.

理解內容

1.微元法的思想.

掌握內容

1.求平面圖形的面積.

2.求平面曲線的弧長.

3.求平行截面面積為已知的立體體積，簡單的封閉平面圖形繞坐標軸旋轉所成旋轉體的體積. 

4.求平面曲線繞坐標軸旋轉所成旋轉面的面積.

5.求變力所作的功 (質點沿直線運動) .

十一、反常積分

( 一) 知識要點

1.無窮積分的定義、性質及斂散性的判別.

2.瑕積分的定義、性質及斂散性的判別.

(二) 考核要求

了解內容

1.兩類反常積分的幾何意義.

2.兩類反常積分的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.

3.用柯西準則判定兩類反常積分的收斂性.

理解內容

1.兩類反常積分收斂、發(fā)散的概念；兩類反常積分條件收斂和絕對收斂的概念.

2.用比較原則，比較原則的極限形式，柯西判別法，柯西判別法的極限形式判定兩類非負函數(shù)反常積 分的斂散性.

掌握內容

1.根據(jù)定義判定反常積分的斂散性，求收斂的反常積分的值.

十二、數(shù)項級數(shù)

( 一) 知識要點

1.級數(shù)的概念，級數(shù)收斂和發(fā)散的定義.

2.級數(shù)的基本性質，級數(shù)收斂的必要條件.

3.級數(shù)收斂的柯西準則.

4.正項級數(shù)斂散性的判別法 (比較判別法、比式判別法及其極限形式、根式判別法及其極限形式、積 分判別法.)

5.交錯級數(shù)及其萊布尼茲判別法.

6.級數(shù)絕對收斂與條件收斂的定義及判別.

7.一般項級數(shù)的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.

(二) 考核要求

了解內容

1.阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.

2.絕對收斂級數(shù)的性質.

理解內容

1.級數(shù)收斂、發(fā)散的概念.

2.正項級數(shù)斂散性的積分判別法.

3.用柯西準則判別級數(shù)的斂散性.

掌握內容

1.用定義判別級數(shù)的斂散性，求收斂級數(shù)的和.

2.用級數(shù)收斂的必要條件判別級數(shù)發(fā)散.

3.幾何級數(shù)的斂散性， p 級數(shù)的斂散性.

4.用級數(shù)的基本性質判別級數(shù)的斂散性.                                                  

5.用比較判別法、比式判別法及其極限形式、根式判別法及其極限形式判別正項級數(shù)的斂散性.

6.用萊布尼茲判別法判別交錯級數(shù)收斂.

7.判別級數(shù)條件收斂和絕對收斂.

十三、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

( 一) 知識要點

1.函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的優(yōu)級數(shù)判別法.

2.一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質.

(二) 考核要求

了解內容

1.函數(shù)列一致收斂的柯西準則.

2.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則.

理解內容

1.函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義.

2.函數(shù)列一致收斂與函數(shù)項級數(shù)一致收斂之間的關系.

掌握內容

1.函數(shù)項級數(shù)一致斂的優(yōu)級數(shù)判別法.

2.一致收斂函數(shù)列的極限函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性.

3.一致收斂函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、逐項積分、逐項求導.

十四、冪級數(shù)

( 一) 知識要點

1.冪級數(shù)的概念，冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域.

2.冪級數(shù)的基本性質.

3.將初等函數(shù)展開為冪級數(shù).

(二) 考核要求

了解內容

1.冪級數(shù)的概念.

2.泰勒級數(shù)的定義.

理解內容

1.兩個冪級數(shù)和與差的收斂半徑.

掌握內容

1.求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的方法 (包括判斷端點處的收斂性) .                 

2.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質 (連續(xù)性、逐項求導及逐項積分) .              

3.用基本初等函數(shù)的馬克勞林展開式將一些簡單的初等函數(shù)展開為 x 或x-a 的冪級數(shù).

十五、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

( 一) 知識要點

1.二元函數(shù)的幾何意義，二元或三元函數(shù)的定義域.

2.二元函數(shù)極限的概念.

3.二元函數(shù)連續(xù)的概念.

(二) 考核要求

了解內容

1.多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義.

2.有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質.

理解內容

1.二元函數(shù)的概念.

2.二元函數(shù)的二重極限與累次極限的定義及之間的關系.

掌握內容

1.二元函數(shù)連續(xù)的概念.

2.求二元或三元函數(shù)的定義域.

3.求較簡單的二元函數(shù)的極限.

十六、多元函數(shù)微分學

( 一) 知識要點

1.偏導數(shù)、全微分、高階偏導數(shù)，函數(shù)可微的充分條件與必要條件.

2.求復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則.

3.方向導數(shù)和梯度.

4.二元函數(shù)的極值.

(二) 考核要求

了解內容

1.全微分的概念.

理解內容

1.偏導數(shù)及高階偏導數(shù)的概念.

2.二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義.

3.方向導數(shù)和梯度.

掌握內容

1.函數(shù)可微的充分條件與必要條件.

2.求復合函數(shù)的偏導數(shù) (含抽象函數(shù)) 及全微分.

3.求初等函數(shù)的高階偏導數(shù).

4.求二元函數(shù)的極值.

十七、隱函數(shù)定理及其應用

( 一) 知識要點

1.隱函數(shù)的偏導數(shù)

2.平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面.

3.曲面的切平面與法線.

4.求多元函數(shù)極值的 Lagrange 乘數(shù)法.

(二) 考核要求

了解內容

1.隱函數(shù)定理.

理解內容

1.隱函數(shù)的概念.

掌握內容

1.由方程 f(x, y, z) = 0  所確定的隱函數(shù) z = f (x, y) 的一階偏導數(shù)的計算方法.

2.求平面曲線的切線方程與法線方程，空間曲線的切線方程與法平面方程.      

3.求曲面的切平面方程與法線方程.

4.應用 Lagrange 乘數(shù)法求解一些最大值、最小值問題.

十八、含參變量積分

( 一) 知識要點

1.含參量積分的連續(xù)性、可微性、可積性.

2.含參變量反常積分一致收斂的維爾斯特拉斯 M 判別法.

(二) 考核要求

了解內容

1.含參變量反常積分一致收斂的判別方法.

2.含參變量反常積分的連續(xù)性、可微性、可積性.

理解內容

1.含參量積分的概念.

2.含參變量反常積分一致收斂的概念.用維爾斯特拉斯 M 判別法判別含參變量反常積分一致收斂.

掌握內容

1.用含參量積分的連續(xù)性求定積分的極限.

2.用交換積分順序的方法求定積分.

十九、曲線積分

( 一) 知識要點

1.兩類曲線積分性質.

2.兩類曲線積分計算.

(二) 考核要求

了解內容

兩類曲線積分之間的關系.

理解內容

1.兩類曲線積分的概念.

2.兩類曲線積分的性質.

掌握內容

1.第一型曲線積分的計算.

2.第二型曲線積分的計算.

二十、重積分

( 一) 知識要點

1.二重積分的概念及性質.

2.二重積分的計算.

3.二重積分的應用.

4.格林公式，曲線積分與路徑無關的條件.

(二) 考核要求

了解內容

1.二重積分的概念.

理解內容

1.二重積分的性質

掌握內容

1.直角坐標系下計算二重積分，選擇積分次序與交換積分次序.

2.用極坐標變換計算二重積分.

3.用二重積分解決簡單的應用問題 (限于空間曲面所圍成的體積、 曲面的面積、平面薄板質量) . 

4.格林 (Green) 公式，曲線積分與路徑無關的條件，并應用于曲線積分的計算中.