成人高考理科《數(shù)學(xué)》難點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性

成人高考理科《數(shù)學(xué)》難點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會(huì)怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識(shí).

難點(diǎn)：

(★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0.

案例探究

[例1]已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函數(shù)g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.

命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力，屬★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.

錯(cuò)解分析：題目不等式中的“f”號(hào)如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域.

技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號(hào)，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值.

解：由 且x≠0,故0

又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3，3)上是減函數(shù)，

∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,綜上得2

∴B=A∪{x|1≤x≤ }={x|1≤x< },又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2- 知：g(x)在B上為減函數(shù)，∴g(x)max=g(1)=-4.

[例2]已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對(duì)所有θ∈[0, ]都成立?若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.

命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力，屬★★★★★題目.

知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.

技巧與方法：主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.

解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),

即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

設(shè)t=cosθ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0，1]上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在[0，1]上的最小值為正.

∴當(dāng) <0,即m<0時(shí)，g(0)=2m-2>0 m>1與m<0不符;

當(dāng)0≤ ≤1時(shí)，即0≤m≤2時(shí)，g(m)=- +2m-2>0

4-2

當(dāng) >1,即m>2時(shí)，g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2

綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4-2 .

錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：

(1)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識(shí)的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.

(2)應(yīng)用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題.

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